KVANTITEETIDE KEEL ⟩ Kuidas armastada matemaatikat? (1)
Praktilise meelelaadiga inimest võib veenda, et matemaatika on loodusteadus meid ümbritseva maailma hulgalistest, geomeetrilistest ja loogilistest seostest. Kui lisame liikumise, jõuame füüsika kirjeldusvalda; kui lisame sellele omakorda muundumise, vajame toimuvate nähtuste kirjeldamiseks juba keemiat. Lisades sealt edasi infovahetuse (aines kangastanud geneetiline ja signaalina leviv info), jõuame bioloogiasse; lisades veel kord infovahetuse baasil toimuva organiseeruvuse, vajame maailmas toimuva selgitamiseks juba sotsiaalteaduseid.
Need, kelle usk on nõdrast suurem [1], saavad lisada kõige lõpuks eesmärgistatuse, millega jõuame teoloogiliste ilmutuste valda, kus loomise läbi tekib olev eksistents hulgaliste, geomeetriliste ja loogiliste struktuuridena. Ring on täis! Nii õnnestuks meil postuleerida, et matemaatika on lihtsaim loodusteadus, sest iga uue kihi lisamine muudab maailma vaid keerukamaks. Igatahes on see palju-palju lihtsam kui ajalugu (kahjuks küll funktsionaalset ajalugu – põhjuslike sündmusahelate ajalugu – koolis ei õpetata [2]).
Ometi pole me nii arutledes küsinud matemaatikute arvamust. Keele termineid ja nendega ümberkäimise reegleid, st grammatikat äärmuslikult täpsustades saame keele, milles eelduses toodud tõeväärtus kandub üle ka järeldustesse. Matemaatika on just sellisena kvantiteetidest kõnelev keel. Seejuures väga universaalne: x võib ju tähendada mida tahes, kuid kord sätestatud väidete sisu säilub igas arutelus. Matemaatilise keele valdamine eeldavat piisava hulga harjutuste teostamist. Kuid isegi kui klassi ees on Lauri Leesi võimekusega õpetaja, siis ainult prantsuse keele grammatika harjutamine õpilastes vaimustust esile ei kutsu. Rääkida tahaks selles keeles ikka ka! Öelge üks põhjus, miks matemaatikatunnis ei võiks lahendada ülesandeid füüsikast, keemiast, geograafiast, ajaloost või muusikast!
Vaatleme veel kord erinevusi. Matemaatika kui loodusteadus omandab lähtetõed looduse mõõtmisest. Matemaatika kui hulkadest, geomeetriast ja loogikast rääkiv keel lihtsalt postuleerib oma grammatika. Kurt Gödel tõestas, et pole mingit tagatist, et see on kooskõlaline [3]. Nii viib Eukleidese ja Riemanni geomeetria aksiomaatika mõõdetavalt erinevatele tulemustele. Kuid see on kõrgem pilotaaž! Alustagem millestki lihtsamast…
Oletame, et viibite matemaatikaõpetajana klassi ees. Küsite, kui palju on 1+1? Juba lasteaia lõpuks omandab enamik lapsi oskuse vanemaid rõõmustada vastusega 1+1=2. Loodetavasti sellise vastuse te ka saate. Siis võite aga teatada, et loodusteadlased võivad kõiki ehmatada tõdemusega, et 1+1 ei võrdu looduses peaaegu mitte kunagi kahega. Vaatleme näiteks punarebaseid. Mõistatus: kes toob rebastele kutsikaid? Loomulikult sookured… Sellest siis ka «soorebased» [4]. Linge kinni loorehades / Linge kinni loorehades teel ja veel / Minge ringi, soorebased… [5]
Kuid jäädes tõsiseks, kui palju ikkagi teeb kokku üks isarebane pluss üks emarebane? Teadlased on probleemi tõsiselt uurinud. Tulemuseks on pesakonna suuruse tõenäosusjaotused kutsikate vahemikus nullist tosinani. Kuid pilt pole sugugi täielikult selge. Olulised erinevused tulevad mängu sõltuvalt sellest, mille põhjal kutsikaid loendatakse [6]. Uurijad on seda teinud platsentaarmide, loodete ja vahetu loendamise andmetele toetudes. Jaotusi on lähendatud Poisson’i, log-normaalse, negatiivse binoomjaotuse ja veel mõne eksootilise jaotusfunktsiooniga. Täielikku kooskõla polegi saavutatud. On olulisi lahknemisi. Tee tõeni ongi konarlik! Vaatamata näilisele verbaalsele keerukusele on võimalik pildimaterjali abil tulemusi analüüsida ka põhikoolis. Lisaks saab teatada, et pesakonna suurust mõjutavad paikkond, klimaatilised tegurid, toidulaua olemasolu, alamliik (punarebaste puhul kuni 25), jms.
Loodus ei ole üheski oma avalduses tardunud. Meid ümbritsevas maailmas toimuvad sünd ja surm ning lakkamatu muundumine, mille kestel õunaõie südamikust ilmub sügiseks punapõsine õunakaunitar, mis aga järgmise suve alguseks moondub õunakastis inetuks mädaseks lögaks. Seega isegi üks ei võrdu ühega. Juba Herakleitos (umbes 535 eKr – 475 eKr) püüdis oma õpilasi veenda, et ühte ja samasse jõkke ei saa kaks korda astuda. Eakamaks saades võime olla kindlad, et meis on tõenäoliselt erakordselt vähe neid aatomeid, millega sündisime [7]. Kas me oleme pärast neid muundumisi ikka meie ise? Lisaks oleme koduks arvukatele mikroorganismidele, mille arv ületab kümnekordselt meie endi rakkude arvu [8]. Demokraatlikul hääletusel jääksime kindlalt vähemusse.
Põhikooli matemaatika tasemel on uuritav ka probleem, kui palju igaühes meist on kunagi William Shakespeare'i kehas olnud aatomeid [9]. Arutelu käigus sooritame õppuritega turismireisi bioloogia, füüsika, keemia, klimatoloogia ja ka loomulikult ka kirjanduse maile. Vastus – 20 miljardit aatomit – on ligikaudne, kuid väärtuslik on tegelikult reis ise. Refereerime, mida teadjamehed-naised soovitavad meile mõtlemiseks taolise rehkenduse lõpptulemustes:
«Meie analüüs ei kehti mitte ainult Shakespeare'i, vaid ka kõigi inimeste (ja üldse kõigi elusolendite, sealhulgas loomade, putukate ja mikroobide) kohta, kes on varem surnud. Nii et meis kõigis on ka väike Buddha. See kõik peaks panema meid end targemana tundma. Kuna meis on ka väike sipelgas, siis see peaks panema meid end alandlikumana tundma. Halb on aga see, et meis kõigis on ka keegi Hitler (jumal meid kaitsku!). Nii et kurjus tuleb koos heaga. Ja pole mõtet ka püüda oma keha Hitlerist puhastada: nagu analüüs näitab, on ta umbes kümne päeva pärast tagasi. On veel «halbu uudiseid». Umbes üks seitsmest Shakespeare'i aatomist teie kehas pärineb tema väljaheidetest. Ja kui vastate: «Hei, ma ei taha neid,» pole teil ometi muud valikut. Te olete nendega ummikus; see on raske õnn. Muidugi, kui te nii reageerite, olete ilmselt seda tüüpi inimene, kellele inglise kirjandus jätab suhu halva maitse.»
Katsetage seda kõike õpilastega ja võib juhtuda, et neile meeldib kuuldu-nähtu nii väga, et võimaluse korral on nad nõus hakkama matemaatikat armastama.
KASUTATUD KIRJANDUS
[1] Pauluse kiri roomlastele 14:1
[2] George L. Anderson. History in the Making http://vlib.iue.it/carrie/texts/carrie_books/anderson/I.html
[3] Melvin Henriksen. What is Godel's Theorem? https://www.scientificamericn.com/article/what-is-godels-theorem/
[4] Vaiko Eplik – Soorebased https://www.youtube.com/watch?v=s6hX38oAWt8
[5] Vaiko Eplik. Soorebased Lyrics https://genius.com/Vaiko-eplik-soorebased-lyrics
[6] Eleanor S. Devenish-Nelson, Philip A. Stephens, Stephen Harris, Carl Soulsbury, Shane A. Richards. Does Litter Size Variation Affect Models of Terrestrial Carnivore Extinction Risk and Management?http://www.researchgate.net/publication/235883200
[7] Chris Opfer, Allison Troutner. Does Your Body Really Replace Itself Every Seven Years?
https://science.howstuffworks.com/life/cellular-microscopic/does-body-really-replace-seven-years.htm
[8] Ron Sender, Shai Fuchs, Ron Milo. Revised Estimates for the Number of Human and Bacteria Cells in the Body
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/27541692/
[9] An Estimate of the Number of Shakespeare's Atoms in a Living Human Being